Equazione quadratica

Equazione quadratica generale

Forma di base

Forma base dell'equazione quadratica a coefficienti costanti a, b e c:

$a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$

$con a, b, c \in R und a \neq 0$

Forma normale

La divisione per i coefficienti a e la ridenominazione dei termini $\frac{b}{a}$ e $\frac{c}{a}$ porta alla forma normale dell'equazione quadratica:

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$

$con p = \frac{b}{a} und q = \frac{c}{a} follows the basic form$

$x^{2} + p x + q = 0$

Soluzione generale dell'equazione quadratica

Trasformando e applicando il complemento quadratico, la soluzione generale dell'equazione quadratica può essere data nella forma della formula p,q:

Partendo dalla forma normale dell'equazione quadratica, l'equazione viene risolta utilizzando l'integratore quadratico.

$x^{2} + p x + q = 0$

Il punto di partenza per la soluzione generale è la forma normale dell'equazione quadratica.

$x^{2} + p x = - q$

1. Sottrazione q

$x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} = - q$

2. Espandendo l'equazione per ${(\frac{p}{2})}^{2}$ e sottraendo questo termine in modo da non modificare l'equazione.

$x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} = {(\frac{p}{2})}^{2} - q$

3. Dopo la trasformazione, il lato sinistro dell'equazione contiene un'espressione che corrisponde al 1° teorema di Binomio: ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

${(x + \frac{p}{2})}^{2} = {(\frac{p}{2})}^{2} - q$

4. L'applicazione del binomio porta a un'espressione quadratica.

$x + \frac{p}{2} = \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

5. Estrarre la radice permette quindi di risolvere l'equazione per x. Poiché la radice quadrata in generale ha un'equazione quadratica positiva e una negativa, la soluzione ha anche in generale due soluzioni x₁ und x₂.

$x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

6. Il risultato è la cosiddetta formula pq per determinare la soluzione di un'equazione quadratica.

Le soluzioni possono essere suddivise in tre categorie in base al valore del discriminante: $D = {(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

$D = 0$ : Esiste una soluzione reale.

$D > 0$ : Le soluzioni reali sono due.

$D < 0$ : Esistono due soluzioni complesse.

Esempio di equazione quadratica con due soluzioni reali

Il primo esempio ha due soluzioni reali. Di seguito, l'approccio viene mostrato con un'espansione quadratica e poi con la formula pq.

$x^{2} + 3 x + 2 = 0$

Esempio di equazione

$x^{2} + 3 x = - 2$

Sottrazione del termine assoluto

$x^{2} + 3 x + {(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} = - 2$

Con l'aggiunta del termine ${(\frac{3}{2})}^{2}$ l'espressione si estende alla prima formula binomiale.

$x^{2} + 2 \frac{3}{2} x + {(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} = - 2$

L'espansione del fattore davanti a x illustra la struttura binomiale.

$x^{2} + 2 \frac{3}{2} x + {(\frac{3}{2})}^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2} - 2$

Dopo aver formato sul lato sinistro dell'equazione il primo binomio.

${(x + \frac{3}{2})}^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2} - 2$

Applicazione del primo teorema binomiale ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

$x + \frac{3}{2} = \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - 2}$

L'applicazione della radice quadrata consente di risolvere l'equazione per x. La radice quadrata di generalmente ha una soluzione positiva e una negativa.

$x_{1, 2} = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - 2}$

$x_{1} = - 1$

$x_{2} = - 2$

Formare e calcolare i risultati sulle due soluzioni reali dell'equazione quadratica.

$x^{2} + 3 x + 2 = 0$

Alla soluzione si arriva anche impiegando i coefficienti dell'equazione nella formula pq.

$x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

p e q devono essere sostituiti dai coefficienti.

$x_{1, 2} = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - 2}$

$x_{1} = - 1$

$x_{2} = - 2$

Utilizzando p = 3 e q = 2 si ottiene la soluzione dell'equazione.

Esempio di un'equazione quadratica con due soluzioni complesse

Il secondo esempio presenta due soluzioni complesse. Di seguito, l'approccio viene prima illustrato con il complemento quadro e poi con la formula pq.

$x^{2} + 1 = 0$

Esempio di equazione

$x^{2} = - 1$

Questa semplicissima equazione quadratica può essere trasformata direttamente.

$x_{1, 2} = \sqrt{- 1} = \pm i$

$x_{1} = + i$

$x_{2} = - i$

La particolarità è che il discriminante è negativo, quindi il termine sotto la radice quadrata. La radice quadrata di -1 è indicata con i. La i sta per unità immaginaria.

$x^{2} + 0 x + 1 = 0$

Alla soluzione si arriva sostituendo i coefficienti dell'equazione nella formula pq.

$x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

p e q devono essere sostituiti dai coefficienti.

$x_{1, 2} = - \frac{0}{2} \pm \sqrt{{(\frac{0}{2})}^{2} - 1}$

$x_{1} = + i$

$x_{2} = - i$

Inserendo p = 0 e q = 1 si ottiene la soluzione dell'equazione.

Esempio di equazione quadratica con soluzione bipartita

Il terzo esempio ha una doppia soluzione reale.

$x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Esempio di equazione

$x^{2} + 4 x + 4 - 4 = - 4$

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x_{1, 2} = - 2$

La soluzione per completamento del quadrato porta a un discriminante con valore 0, il che significa che c'è una duplice soluzione precedente con +/- 0.

$(x + 2) (x + 2) = x^{2} + 4 x + 4$

$x_{1, 2} = - 2$

Dalla rappresentazione del prodotto dell'equazione è evidente che si tratta di una soluzione duplice.

La formula pq per la risoluzione di un'equazione quadratica

L'applicazione della formula pq richiede che l'equazione quadratica sia in forma normale. Se non esistono, possono essere convertite con trasformazioni in forma normale. Ecco un esempio delle trasformazioni necessarie in forma normale.

$2 x^{2} - 4 x + 6 = 2$

Esempio di equazione

$x^{2} - 2 x + 3 = 1$

Divisione per il fattore prima di x²

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Sottraendo il lato destro

$x^{2} + (- 2) x + 2 = 0$

Tenendo conto del segno di p, si possono leggere p = -2 e q = 2.

Risolutore di equazioni quadratiche

Calcolatrice per la soluzione dell'equazione quadratica:

$a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$

Inserire i coefficienti a, b e c dell'equazione quadratica:

↹#.000

Forma del vertice

La forma al vertice della funzione quadrata è:

$y = {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

Dove x_V e y_V sono le coordinate x e y del vertice della parabola. Il vertice è il minimo o il massimo della funzione, a seconda che la parabola sia ascendente o discendente.

Forma del vertice dalla forma base:

Nella forma di base, il coefficiente prima di x² è 1.

Forma base della funzione quadratica a coefficienti costanti p e q:

$y = x^{2} + p x + q$

Se la funzione quadrata è in forma elementare, il vertice della parabola è dato da:

$x_{V} = - \frac{p}{2}$

$y_{V} = - {(\frac{p}{2})}^{2} + q$

Trasformazione dalla forma base alla forma vertice con espansione quadratica e applicazione del primo binomio:

$x^{2} + p x + q =$

$x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q =$

${(x + \frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q =$

${(x - \frac{- p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q$

Calcolatrice per la trasformazione Forma normale a forma di vertice

Parabola

Le soluzioni dell'equazione quadratica corrispondenti agli zeri di una parabola. Una parabola è definita da una mappatura della forma corrispondente agli zeri della funzione $f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$ . Da ciò segue che la soluzione dell'equazione quadratica $a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$ corrisponde agli zeri della funzione f(x). I punti in cui la parabola interseca l'asse x sono le soluzioni dell'equazione.

A seconda della posizione della parabola si hanno due zeri, uno zero o nessuno zero. Se la parabola non interseca l'asse x, l'equazione quadratica corrispondente ha soluzioni complesse.

Rappresentazione grafica interattiva di una parabola Traceur de paraboles

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Funzione plot Forma normale a forma di vertice